Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

f : A -> B

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

f : x -> x2

atau

f(x) = x2

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

• ·         Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

• ·         Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

• ·         Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

Relasi

Perkalian Himpunan (Produk Cartesius).
 
Misalnya A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}.
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.

A x B dibaca “A cross B”.
B x A dibaca “B cross A”.
 
Pengertian Relasi. 

Misalnya dalam suatu wawancara tentang kegemaran olahraga beberapa anak kelas 8F diperoleh data sebagai berikut:

·         Ivonna menggemari olahraga renangq

·         Rizki menggemari olahragaq tenis

·         Alina menggemari olahraga renangq

·         Nana menggemari olahraga senam

·         Gita menggemari olahraga renangq

Dari data di atas dapat dibentuk 2 himpunan yaitu:
 

1. Himpunan bagian siswa kelas 8F
A = {Ivonna, Rizki, Alina, Nana, Gita}
 

2. Himpunan jenis olahraga
B = {renang, tenis, senam}
Antara himpunan A dan B terdapat hubungan/relasi yaitu “menggemari olahraga”.
 

Jadi:
Himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan mempunyai relasi (hubungan) jika ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.

Contoh:
Diketahui A = {4, 6, 8,10} dan B = {2, 3, 4, 5}
a. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B!
b. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A!
Jawab:
a. Dari himpunan A dan B didapat:
4 = dua kali 2
6 = dua kali 3
8 = dua kali 4
10 = dua kali 5 

Jadi relasi yang mungkin dari A ke B adalah “dua kali dari”.

b. Dari himpunan B ke himpunan A didapat:
2 = setengah dari 4
3 = setengah dari 6
4 = setengah dari 8
5 = setengah dari 10
Jadi relasi yang mungkin dari B ke A adalah “setengah dari”

Menyatakan Relasi dari Dua Himpunan.

Ada tiga cara menyatakan relasi dua buah himpunan, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan grafik Cartesius.

Produk Cartesius dan Relasi

Pandang himpunan A dan B. Himpunan semua pasangan terurut (a,b), untuk setiap a Î A, b Î B), disebut produk Cartesius A dengan B. Produk Cartesius dinotasikan sebagai A x B.

Jadi A x B = {(x,y) | x Î A, y Î B}

Penyajian matriks relasi

DIsini baris matriks menyatakan anggota himpunan A sedangkan kolom matriks menyatakan anggota himpunan B. Elemen baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) Î R. Dalam hal ini, elemen matriks kita isi dengan 0

Penyajian Diagram Panah

Disini dibuat dua buah elips. Elpis sebelah kiri berisi anggota himpunan A, sedangkan yang kanan berisi anggota himpunan B. kalau ada kaitan antara a ÎA dan b Î B, artinya (a,b) Î R, maka anak panah dibuat dari a ke b.

Penyajian Digraf

Anggota himpunan A maupun B kita nyatakan sebagai simpul, yaitu lingkaran kecil berlabel anggota himpunan tersebut. Kalo ada kaitan antara a Î A dengan bÎ B, tarik garis lurus (lurus atau melengkung) bertanda panah, disebut arkus, dari simpul berlabel a ke simpul label b.

Relasi Invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya, komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan invers dari R. Jadi jika R = {(a,b) | a Î A, b Î B} maka inversnya R^-1 = {(b,a) } b Î B, a Î A}

Komposisi Relasi

Pandang Relasi R dari himpunan A ke himpunan B, relasi S dari himpunan B ke himpunan C. Berarti disini R adalah himpunan bagian dari A x B dan S adalah himpunan bagian B x C.

Kita dapat mendefinisikan sebuah relasi baru dari A ke C, yang kita tulis RoS yang beranggotakan semua pasangan (a,c) yang memenuhi bahwa (a,b) Î R dan (b,c) Î S, atau dengan kata lain :

RoS = {(a,c) | ada b Î B yang memenuhi (a,b) Î R, (b,c) Î S}

Sifat Relasi

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A, maka R disebut :

a. refleksi f, bila (a,a) Î R, untuk tiap a Î A

b. Simetris, bila untuk (a,b) Î R, berlaku (b,a) Î R

c. Transitif, bila untuk (a,b) Î R, (b,c) Î R berlaku (a,c) Î R

d. Anti simetri, bila untuk (a,b) Î R, (b,a) Î R berlaku a=b







Sumber : http://www.crayonpedia.org/mw/Relasi_dan_Fungsi
               D. Suryadi H.S., Aljabar Logika dan Himpunan, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995

Himpunan dan Bilangan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar. Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut.

Sifat Unsur-Unsur Himpunan

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

o  Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.

o  Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar.

1.         Ciri-ciri Himpunan

a.    Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan

b.    Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan

c.    Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

2.         Lambang Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang 

termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}.

3.         Menyatakan Himpunan

 Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan:

a.    Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b.    Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}

c.    Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

4.         Anggota Himpunan

Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.

2.   Jenis - Jenis Himpunan

1. Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

2. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

3. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan 

kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

4. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A=B

5. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
Contohnya A= {b,c,d}
B={d,c,b}
A jumlahnya sama dengan B

6. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contohnya:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

7. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
contohnya
B = {a,c,e}
A = {a,b,c,d,e}
jadi B bagian dari A.

8. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
Contohnya
A = (a,b,c,d,e}
maka a elemen A

9. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contohnya
A = {d,e,f}
B = {g,h,i}
maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B

10. Bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
contohnya
A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.

11. Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
contoh
K = {0,1,2,3,4,5}

12. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
Contohnya
D = {1,2,3,4,}

13. Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
contohnya
G = {2,4,6,8,10}

14. Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
contohnya
K = {1,3,5,7}

15. Himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
contohnya
Y = {2,3,,5,7}

16. Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua. Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3. Diagram Venn

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta. Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta. Contohnya:

Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

4. Operasi pada Himpunan

1. Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9

Atau

2. Gabungan

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.

Contohnya: A u B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A u B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )

3. Sifat-sifat operasi himpunan

a. Komutatif

1)   Irisan,           => Berlaku: A n B = B n A

2)   Gabungan,    => Berlaku: A u B = B u A

b. Asosiatif

1)   Irisan tiga himpunan,          => (A n B) n C = A n ( B n C)

2)   Gabungan tiga himpunan,   => (A u B) u C = A u ( B u C)

c.    Distributif

1)   Irisan,             => A n ( B u C ) = (A n B) u (A n C)

2)   Gabungan,      => A u (B n C) = (A u B) n (A u C)

Himpunan Bilangan dan Skemanya

Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

• ·         Bulat positif  (1, 2, 3, 4, 5, …)

• ·         Nol                 : 0

• ·         Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan Bilangan bulat 

 A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …  }

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

·         Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0,  2, 4, 6, …  } 

Bilangan yang habis dibagi dengan 2

·         Bilangan bulat ganjil  { …, -5, -3, -1, 1,  3, 5, …  }

Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

Operasi Hitung Bilangan Bulat

1.      Penjumlahan

·         Sifat Asosiatif    ( a + b ) + c = a + ( b + c )

·         Sifat Komutatif  a + b = b + a

·         Unsur Identitas terhadap penjumlahan   a + 0 = 0 + a

·         Unsur invers terhadap penjumlahan   a + (-a) = (-a) + a

·         Bersifat tertutup   a dan b ∈ bilangan bulat   maka  a + b = c  ;   c ∈ bilangan bulat

2.      Pengurangan

·         Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

a – b = a + (-b)

a – (-b) = a + b

·         Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

a – b  ≠  b - a

(a – b ) – c   ≠  a – ( b – c )

·         Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :  

a – 0 = a  dan  0 – a = -a

·         Bersifat tertutup ® a dan b ∈ bilangan bulat   maka

a  -  b = c  ;   c ∈ bilangan bulat 

3.      Perkalian

a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab

·         Sifat Asosiatif   (a x b) x c = a x (b x c)

·         Sifat komutatif   a x b = b x a

·         Sifat distributif   a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

·         Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau a x 1 = 1 x a = a

·         Bersifat tertutup  a x b = c 

a, b, c  ∈ bilangan bulat 

4.      Pembagian

·         Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif   (+)  : (+)  = (+)

·         Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif  (-)  :  (-)  =  (+)

·         Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif   (+) : (-) = (-)  atau  (-) : (+) = (-)

·         Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi 

·         Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif   a : b  ≠  b : a  atau (a:b):c  ≠ a : (b:c)

·         Bersifat tidak tertutup

Bilangan Riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Sifat-sifat

 

·         Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

• ·         Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx

• ·         Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

• ·         Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)

• ·         Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.

• ·         Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.

• ·         Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

·         Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini :

·         Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+

·         Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -x anggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus

·         Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

·         Aksioma kelengkapan

Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S)

 





Sumber : http://himpunan-matematika.blogspot.com/

    http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil

              amethyst070188.files.wordpress.com/