Relasi

Perkalian Himpunan (Produk Cartesius).
 
Misalnya A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}.
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.

A x B dibaca “A cross B”.
B x A dibaca “B cross A”.
 
Pengertian Relasi. 

Misalnya dalam suatu wawancara tentang kegemaran olahraga beberapa anak kelas 8F diperoleh data sebagai berikut:

·         Ivonna menggemari olahraga renangq

·         Rizki menggemari olahragaq tenis

·         Alina menggemari olahraga renangq

·         Nana menggemari olahraga senam

·         Gita menggemari olahraga renangq

Dari data di atas dapat dibentuk 2 himpunan yaitu:
 

1. Himpunan bagian siswa kelas 8F
A = {Ivonna, Rizki, Alina, Nana, Gita}
 

2. Himpunan jenis olahraga
B = {renang, tenis, senam}
Antara himpunan A dan B terdapat hubungan/relasi yaitu “menggemari olahraga”.
 

Jadi:
Himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan mempunyai relasi (hubungan) jika ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.

Contoh:
Diketahui A = {4, 6, 8,10} dan B = {2, 3, 4, 5}
a. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B!
b. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A!
Jawab:
a. Dari himpunan A dan B didapat:
4 = dua kali 2
6 = dua kali 3
8 = dua kali 4
10 = dua kali 5 

Jadi relasi yang mungkin dari A ke B adalah “dua kali dari”.

b. Dari himpunan B ke himpunan A didapat:
2 = setengah dari 4
3 = setengah dari 6
4 = setengah dari 8
5 = setengah dari 10
Jadi relasi yang mungkin dari B ke A adalah “setengah dari”

Menyatakan Relasi dari Dua Himpunan.

Ada tiga cara menyatakan relasi dua buah himpunan, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan grafik Cartesius.

Produk Cartesius dan Relasi

Pandang himpunan A dan B. Himpunan semua pasangan terurut (a,b), untuk setiap a Î A, b Î B), disebut produk Cartesius A dengan B. Produk Cartesius dinotasikan sebagai A x B.

Jadi A x B = {(x,y) | x Î A, y Î B}

Penyajian matriks relasi

DIsini baris matriks menyatakan anggota himpunan A sedangkan kolom matriks menyatakan anggota himpunan B. Elemen baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) Î R. Dalam hal ini, elemen matriks kita isi dengan 0

Penyajian Diagram Panah

Disini dibuat dua buah elips. Elpis sebelah kiri berisi anggota himpunan A, sedangkan yang kanan berisi anggota himpunan B. kalau ada kaitan antara a ÎA dan b Î B, artinya (a,b) Î R, maka anak panah dibuat dari a ke b.

Penyajian Digraf

Anggota himpunan A maupun B kita nyatakan sebagai simpul, yaitu lingkaran kecil berlabel anggota himpunan tersebut. Kalo ada kaitan antara a Î A dengan bÎ B, tarik garis lurus (lurus atau melengkung) bertanda panah, disebut arkus, dari simpul berlabel a ke simpul label b.

Relasi Invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya, komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan invers dari R. Jadi jika R = {(a,b) | a Î A, b Î B} maka inversnya R^-1 = {(b,a) } b Î B, a Î A}

Komposisi Relasi

Pandang Relasi R dari himpunan A ke himpunan B, relasi S dari himpunan B ke himpunan C. Berarti disini R adalah himpunan bagian dari A x B dan S adalah himpunan bagian B x C.

Kita dapat mendefinisikan sebuah relasi baru dari A ke C, yang kita tulis RoS yang beranggotakan semua pasangan (a,c) yang memenuhi bahwa (a,b) Î R dan (b,c) Î S, atau dengan kata lain :

RoS = {(a,c) | ada b Î B yang memenuhi (a,b) Î R, (b,c) Î S}

Sifat Relasi

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A, maka R disebut :

a. refleksi f, bila (a,a) Î R, untuk tiap a Î A

b. Simetris, bila untuk (a,b) Î R, berlaku (b,a) Î R

c. Transitif, bila untuk (a,b) Î R, (b,c) Î R berlaku (a,c) Î R

d. Anti simetri, bila untuk (a,b) Î R, (b,a) Î R berlaku a=b







Sumber : http://www.crayonpedia.org/mw/Relasi_dan_Fungsi
               D. Suryadi H.S., Aljabar Logika dan Himpunan, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995