1. Pernyataan (Proposisi)
Di dalam matematika, tidak semua
kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah
saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Sebuah proposisi(proposition) atau
statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai
kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).
Kalimat tanya atau kalimat perintah
tidak dianggap sebagai pernyataan.
Berikut ini adalah beberapa contoh
proposisi :
a. 1 + 2 = 3
b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY
c. 6 adalah bilangan prima
d. Warna bendera RI adalah biru dan
merah
Kalimat-kalimat di atas adalah
kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b)
bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.
Kalimat-kalimat berikut bukan
pernyataan :
1. x + 2 = 10.
2. Minumlah sirup ini dua kali
sehari.
3. Alangkah cantiknya gadis itu!
2. Mengkombinasikan Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru
dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan
untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar
yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator
pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua
buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia
hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).
Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi
atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi
atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris
yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The
Laws of Thought. Proposisi majemuk ada
tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Negasi:
Untuk sembarang proposisi, p, yang
memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki
nilai kebenaran lawannya, S/B.
Berikut ini adalah contoh negasi :
p : Palembang adalah ibukota
propinsi Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar Palembang adalah
ibukota propinsi Sumatera Selatan.
atau
Palembang bukan ibukota propinsi
Sumatera Selatan.
Di sini ~p salah karena p benar.
2. Kombinasi Proposisi
Satu
atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator
yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika.
Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or),
dan tidak (not). Proposisi baru yang
diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound
proposition). Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan
dalam tabel berikut ini.
Contoh:
p : Hari ini hujan deras.
q : Mahasiswa tidak kuliah.
Maka:
p ∧
q : Hari ini hujan deras dan mahasiswa tidak kuliah.
p ∨
q : Hari ini hujan deras atau mahasiswa tidak kuliah.
-p
: Hari ini tidak hujan deras.
p ∧
-q : Hari ini hujan deras dan mahasiswa kuliah.
-(-p) : Tidak benar bahwa hari
ini tidak hujan deras.
p ⇒
q : Jika hari ini hujan deras, maka mahasiswa tidak kuliah.
p ⇔
q : Hari ini hujan deras jika hanya jika mahasiswa tidak kuliah.
3. Hukum
Logika Proposisi
Berikut adalah hukum-hukum logika
yang berlaku pada proposisi.
1. Hukum
Identitas
p ∨
F ⇔ p
p ∧
T ⇔ P
2. Hukum
Null / dominasi
p ∧
F ⇔ F
p ∨
T ⇔ T
3. Hukum
Negasi
p ∨
-p ⇔ T
p ∧
-p ⇔ F
4. Hukum
Idempotent
p ∨
p ⇔ p
p ∧
p ⇔ p
5. Hukum
Involusi (negasi ganda)
-(-p) ⇔
p
6. Hukum
Penyerapan (absorpsi)
p ∨
( p ∧ q) ⇔ p
p ∧
(p ∨ q) ⇔ p
7. Hukum
Komutatif
p ∨
q ⇔ q ∨ p
p ∧
q ⇔ q ∧ p
8. Hukum
Asosiatif
p ∨
(q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p ∧
(q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
9. Hukum
Distributif
p ∨
(q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧
(q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
10. Hukum
De Morgan
- (p ∧
q) ⇔ -p ∨ -q
- (p ∨
q) ⇔ -p ∧ -q
4. Tabel
Kebenaran
Tabel kebenaran adalah suatu tabel
yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi
majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika
kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi
tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n. Berikut ini adalah
tabel kebenaran dari operator-operator logika dasar.
Sumber : http://matematika-diskrit-universitas.blogspot.com/2011/10/proposisi-kombinasi-hukum- proposisidan.html
http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/10/proposisi-kombinasi-proposisi-dan-tabel.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar