Proposisi

1. Pernyataan (Proposisi)

Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).

Sebuah proposisi(proposition) atau statement ialah sebuah kalimat deklaratif yang memiliki tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ”Benar”(B) atau ”Salah”(S).

Kalimat tanya atau kalimat perintah tidak dianggap sebagai pernyataan.

Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi :

a. 1 + 2 = 3

b. Presiden RI tahun 2005 adalah SBY

c. 6 adalah bilangan prima

d. Warna bendera RI adalah biru dan merah

Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah.

Kalimat-kalimat berikut bukan pernyataan :

1. x + 2 = 10.

2. Minumlah sirup ini dua kali sehari.

3. Alangkah cantiknya gadis itu!

2. Mengkombinasikan Proposisi

Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam bukunya yang terkenal, The Laws of  Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran.

Misalkan p dan q adalah proposisi.

Negasi:

Untuk sembarang proposisi, p, yang memiliki nilai kebenaran, B/S, maka negasinya ditulis sebagai, ~p, memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.

Berikut ini adalah contoh negasi :

p : Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.

~p : Tidak benar Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera    Selatan.

atau

Palembang bukan ibukota propinsi Sumatera Selatan.

Di sini ~p salah karena p benar.

2. Kombinasi Proposisi

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),  atau (or), dan  tidak (not).  Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan dalam tabel berikut ini.

Contoh:

p : Hari ini hujan deras.

q : Mahasiswa tidak kuliah.

Maka:

p ∧ q    : Hari ini hujan deras dan mahasiswa tidak kuliah.

p ∨ q   : Hari ini hujan deras atau mahasiswa tidak kuliah.

-p       : Hari ini tidak hujan deras.

p ∧ -q  : Hari ini hujan deras dan mahasiswa kuliah.

-(-p)  : Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan deras.

p ⇒ q   : Jika hari ini hujan deras, maka mahasiswa tidak kuliah.

p ⇔ q   : Hari ini hujan deras jika hanya jika mahasiswa tidak kuliah.

3. Hukum Logika Proposisi

Berikut adalah hukum-hukum logika yang berlaku pada proposisi.

1. Hukum Identitas

p ∨ F ⇔ p

p ∧ T ⇔ P

2. Hukum Null / dominasi

p ∧ F ⇔ F

p ∨ T ⇔ T

3. Hukum Negasi

p ∨ -p ⇔ T

p ∧ -p ⇔ F

4. Hukum Idempotent

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

5. Hukum Involusi (negasi ganda)

-(-p) ⇔ p

6. Hukum Penyerapan (absorpsi)

p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

7. Hukum Komutatif

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

8. Hukum Asosiatif

p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

9. Hukum Distributif

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

10. Hukum De Morgan

- (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q

- (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q

4. Tabel  Kebenaran

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n. Berikut ini adalah tabel kebenaran dari operator-operator logika dasar.

Sumber : http://matematika-diskrit-universitas.blogspot.com/2011/10/proposisi-kombinasi-hukum- proposisidan.html 

http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/10/proposisi-kombinasi-proposisi-dan-tabel.html

Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

f : A -> B

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

f : x -> x2

atau

f(x) = x2

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

• ·         Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

• ·         Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

• ·         Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Sumber : http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

Relasi

Perkalian Himpunan (Produk Cartesius).
 
Misalnya A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3} maka:

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}.
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b), (1, c), (2, c), (3, c)}.

A x B dibaca “A cross B”.
B x A dibaca “B cross A”.
 
Pengertian Relasi. 

Misalnya dalam suatu wawancara tentang kegemaran olahraga beberapa anak kelas 8F diperoleh data sebagai berikut:

·         Ivonna menggemari olahraga renangq

·         Rizki menggemari olahragaq tenis

·         Alina menggemari olahraga renangq

·         Nana menggemari olahraga senam

·         Gita menggemari olahraga renangq

Dari data di atas dapat dibentuk 2 himpunan yaitu:
 

1. Himpunan bagian siswa kelas 8F
A = {Ivonna, Rizki, Alina, Nana, Gita}
 

2. Himpunan jenis olahraga
B = {renang, tenis, senam}
Antara himpunan A dan B terdapat hubungan/relasi yaitu “menggemari olahraga”.
 

Jadi:
Himpunan A dan B yang tidak kosong dikatakan mempunyai relasi (hubungan) jika ada anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B.

Contoh:
Diketahui A = {4, 6, 8,10} dan B = {2, 3, 4, 5}
a. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B!
b. Tentukan relasi yang mungkin dari himpunan B ke himpunan A!
Jawab:
a. Dari himpunan A dan B didapat:
4 = dua kali 2
6 = dua kali 3
8 = dua kali 4
10 = dua kali 5 

Jadi relasi yang mungkin dari A ke B adalah “dua kali dari”.

b. Dari himpunan B ke himpunan A didapat:
2 = setengah dari 4
3 = setengah dari 6
4 = setengah dari 8
5 = setengah dari 10
Jadi relasi yang mungkin dari B ke A adalah “setengah dari”

Menyatakan Relasi dari Dua Himpunan.

Ada tiga cara menyatakan relasi dua buah himpunan, yaitu dengan himpunan pasangan berurutan, diagram panah, dan grafik Cartesius.

Produk Cartesius dan Relasi

Pandang himpunan A dan B. Himpunan semua pasangan terurut (a,b), untuk setiap a Î A, b Î B), disebut produk Cartesius A dengan B. Produk Cartesius dinotasikan sebagai A x B.

Jadi A x B = {(x,y) | x Î A, y Î B}

Penyajian matriks relasi

DIsini baris matriks menyatakan anggota himpunan A sedangkan kolom matriks menyatakan anggota himpunan B. Elemen baris ke i kolom ke j matriks kita isi angka 1 bila ada kaitan antara anggota ke i (dari A) dengan anggota ke j (dari B), atau dengan perkataan lain pasangan (i,j) Î R. Dalam hal ini, elemen matriks kita isi dengan 0

Penyajian Diagram Panah

Disini dibuat dua buah elips. Elpis sebelah kiri berisi anggota himpunan A, sedangkan yang kanan berisi anggota himpunan B. kalau ada kaitan antara a ÎA dan b Î B, artinya (a,b) Î R, maka anak panah dibuat dari a ke b.

Penyajian Digraf

Anggota himpunan A maupun B kita nyatakan sebagai simpul, yaitu lingkaran kecil berlabel anggota himpunan tersebut. Kalo ada kaitan antara a Î A dengan bÎ B, tarik garis lurus (lurus atau melengkung) bertanda panah, disebut arkus, dari simpul berlabel a ke simpul label b.

Relasi Invers

Bila pada relasi R dari A ke B kita balik seluruh pasangan terurutnya, komponen pertama menjadi komponen kedua dan sebaliknya komponen kedua menjadi komponen pertama, maka terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan invers dari R. Jadi jika R = {(a,b) | a Î A, b Î B} maka inversnya R^-1 = {(b,a) } b Î B, a Î A}

Komposisi Relasi

Pandang Relasi R dari himpunan A ke himpunan B, relasi S dari himpunan B ke himpunan C. Berarti disini R adalah himpunan bagian dari A x B dan S adalah himpunan bagian B x C.

Kita dapat mendefinisikan sebuah relasi baru dari A ke C, yang kita tulis RoS yang beranggotakan semua pasangan (a,c) yang memenuhi bahwa (a,b) Î R dan (b,c) Î S, atau dengan kata lain :

RoS = {(a,c) | ada b Î B yang memenuhi (a,b) Î R, (b,c) Î S}

Sifat Relasi

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan A, maka R disebut :

a. refleksi f, bila (a,a) Î R, untuk tiap a Î A

b. Simetris, bila untuk (a,b) Î R, berlaku (b,a) Î R

c. Transitif, bila untuk (a,b) Î R, (b,c) Î R berlaku (a,c) Î R

d. Anti simetri, bila untuk (a,b) Î R, (b,a) Î R berlaku a=b







Sumber : http://www.crayonpedia.org/mw/Relasi_dan_Fungsi
               D. Suryadi H.S., Aljabar Logika dan Himpunan, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995